Vastuullinen ihanteellinen verkkotunnuksen

Algebra, pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen on kokonaisalue jossa jokainen ihanne on pääasiallinen tai syntyy yksittäinen tekijä. Domeenit eheys ovat luokka renkaat hyvin samanlainen kuin kokonaislukuja: jokainen elementti voidaan kirjoittaa tuote prime elementtejä, ja kunkin parin elementtejä on suurin yhteinen tekijä, joka voidaan ilmaista identiteetin Bézout.

Kommutatiivinen rengas yksikkö, jossa jokainen ihanteellinen syntyy yksittäinen elementti sanotaan renkaat pääasiallinen ihanteellinen; Joskus kuitenkin, se käyttää "pääasiallinen ihanteellinen rengas" osoittamaan pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksia.

Esimerkit

  • Rengas Z kokonaislukujen on pääasiallinen ihanteellinen.
  • Jokainen kenttä K on pääasiallinen ihanteellinen niin vähäpätöinen, koska vain sopiva ja K ovat samoja, joka syntyy 1.
  • Rengas K polynomien muuttujaan x kertoimet kenttä K on pääasiallinen ihanteellinen; päinvastoin, K ja Z eivät ole, sillä ihanteet ja eivät ole merkittäviä.

Omaisuus

Pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen on myös ainutlaatuinen tekijöihinjakoalgoritmi, ja siten perii kaikki ominaisuudet tämän:

  • osa rengas on tärkein, jos ja vain jos se on pelkistymätön;
  • kunkin kohteen hajoaa tuote prime elementtejä, ja hajoaminen on ainutlaatuinen;
  • rengas on täysin kiinni;
  • kunkin parin elementtejä on suurin yhteinen tekijä ja pienimmän yhteisen jaettavan: tarkemmin, GCD a ja b on generaattori ihanteellinen tuottaman a ja b, kun taas MCM on generaattori ihanteellinen. Koska suurin yhteinen tekijä on osa ihanteellinen, se voidaan ilmaista lineaarikombinaationa niistä, eli jokainen pari elementtejä on identiteetin Bézout.

PID eivät kata ainutlaatuinen tekijöihinjakoalgoritmi verkkotunnuksia: esimerkiksi renkaat Z ja K ovat ainutlaatuisia tekijöihinjakoalgoritmi, mutta ei pääasiallinen ihanteellinen. Ainutlaatuinen tekijöihinjakoalgoritmi verkkotunnus on pääasiallinen ihanteellinen, jos ja vain jos se on ulottuvuus 1 tai 0.

Jokainen pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen on noetherian, ja jokainen nollasta poikkeava prime ihanne on maksimaalinen: United olemaan täysin kiinni, tämä merkitsee sitä, että kaikki triviaalin PID on Dedekindin verkkotunnuksen. Lisäksi, Dedekindin verkkotunnus on pääasiallinen ihanteellinen, jos ja vain jos se on ainutlaatuinen tekijöihin.

Vahvempi ominaisuus, että pääasiallinen ihanteellinen on olla euklidisen verkkotunnuksen; esimerkki Epäeuklidinen PID annetaan renkaasta.

Moduulit

Rakenne äärellisesti syntyy moduulien yli pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnus on hyvin yksinkertainen, ja on samanlainen rakenne äärellisesti syntyy Abelin ryhmään: itse asiassa, Abelin ryhmät ovat Z-moduuleja, ja sitten luokittelu äärellisesti syntyy moduulien yli PID voi Se nähdään yleistys, että Abelin ryhmiä.

Jos on pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen, joka äärellisesti syntyy-moduuli on suora summa on äärellinen määrä syklisen moduulien: kukin niistä on myös isomorfinen osamäärä yhdellä. Ainutlaatuisuus edustuksen voi ilmetä kahdella tavalla: moduuli voidaan kirjoittaa

kanssa, tai

missä qi on valtuudet prime elementtejä; molemmissa tapauksissa ja qi ne eroavat 0 ja 1. Jos tekijöihin syklinen suhteessa toisen näistä kahdesta kanoninen muodossa, niin hajoaminen on ainutlaatuinen.

Johtuvina Tämän luokittelun saadaan luokittelu finite dimensional vektoriavaruudet ja Jordania kanoninen muodossa lineaarinen sovelluksia algebrallisesti suljettu kentän.

Toinen ominaisuus äärellisesti syntyy moduuleja on seuraava: jos M on vääntöä vapaa niin se on ilmainen. Tämä ei koske yleensä renkaat tai moduulien PID mutta ei äärellisesti luotu: yksi esimerkki on Z-moduuli Q rationaalilukuja.

  0   0
Seuraava artikkeli Jack Rodwell

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha