Riesz-Fischer lause

Matematiikassa, varsinkin todellisen analyysin, Riesz-Fischer lause todetaan, että täydellinen tila jokainen sekvenssi neliö integroituva funktio määrittelee neliön integroituva. Erityisesti lause määrittää ehdot, joiden elementit sekvenssin ovat Fourier-kertoimia vektorin muutamia. Vuodesta lause seuraa myös, että funktio on neliö integroituva jos ja vain jos sarjan Fourier kertoimet suppenee avaruudessa.

Koska on tärkeää, että se on täydellinen, joskus "lause, Riesz-Fischer" se tarkoittaa lause joka perustaa oman täydellisyyden.

Lause löysi itsenäisesti Unkarin matemaatikko Frigyes Riesz ja Itävallan matemaatikko Ernst Fischer vuonna 1907, ja on vahvempi muoto Besselin eriarvoisuutta. Yksi voi käyttää henkilöllisyyden Parseval varten Fourier-sarjat.

Lause

Onko järjestelmä ortonormaalin polynomi Hilbertin avaruus, ja on järjestyksessä. On olemassa yksikäsitteinen vektoriin siten, että elementit sekvenssin ovat Fourier-kertoimet:

jossa kotimainen tuote. Sekvenssi sitten määrittelee toiminnon.

Vastaavalla tavalla, koska jäsenyys joukko neliön summable sekvenssit merkitsee olemassaolon toiminto siten, että:

kullekin.

Jälkiseuraukset

Lause merkitsee sitä, että jos N: nnen osittainen summa Fourier-sarjan vastaava toiminto on:

missä on n: nnen Fourier-kerroin:

sitten:

jossa:

on normaali

Toisaalta, jos se on kaksipuolinen sekvenssi kompleksilukujen, eli sen indeksi vaihtelee ja siten, että:

sitten on neliö integroituva funktio siten, että arvot ovat Fourier kertoimet.

Täydellisyyden L

Osoitus siitä, että tila on valmis perustuu teoreemojen, jotka luonnehtivat lähentyminen sarjassa Lebesgue integroituva toimintoja. Kun epätasa Minkowskin merkitsee sitä, että se on Normed tilaa. Osoittaa, että se on valmis, se on Banach avaruus, riittää osoittamaan, että jokainen joukon toimintoja, ja että voi olla Lebesguen mitta, niin että:

Se suppenee normi jonkin toiminnon. Sillä eriarvoisuus Minkowski ja monotoninen lähentymistä lause tarkoittaa, että:

ja sitten:

Se määritellään lähes kaikkialla suhteen ja kuuluu. Hallitsi lähentyminen lause käytetään sitten osoittamaan, että summa sarja suppenee standardin:

Tapaus edellyttää joitakin muutoksia johtuu siitä, että p-normi ei ole enää subadditiva. Se alkaa olettaen, että:

ja toistuvasti käyttää sitä, että:

Tapaus on vähennetty yksinkertaista yhdenmukaisesta lähentymistä ulkopuolella joukko toimenpiteen nolla suhteessa toimenpiteestä.

  0   0
Edellinen artikkeli Ampass
Seuraava artikkeli Faktat Genova G8

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha