Pallomainen geometria

Pallomainen geometria on Epäeuklidinen geometria luoma matemaatikko Bernhard Riemann. Pallomainen geometria on välitön tulkinnan Euklidinen geometria. Itse asiassa hänen malli näyttää "kuvattu" geometria pallon pinnalle. Se on käytännön sovelluksia navigoinnin ja tähtitiede.

Pallomainen geometria syntyy kieltäminen Eukleideen viides postulaatin, tai vastaavasti mukaan IV.1 olettamus Hilbert. Kuitenkin, että on itsestään selvää teoriaa johdonmukaisesti, sinun täytyy myös muuttaa aksioomat esiintyvyys ja tavallaan euklidinen geometria. Se on tunnettu siitä, että ei ole samansuuntaisesti.

Tässä esittelemme ensimmäisen kappaleen itsestään selvää geometria nivellaakerit ja sitten analysoi sen malli. Saat intuitiivinen käsitys voit haluttaessa ennen keskustelemme axiomatic lukemaan seuraava kohta: malli pallomainen geometria

Body itsestään selvää

Viitaten ehdottama luokitus Hilbert itsestään selvää Euklidinen geometria, tässä me olemme niitä, jotka liittyvät pallomainen geometria tasainen.

Primitive käsitteet ovat piste, piste paria kutsutaan vastakkaisia ​​pistettä, suora, ja kone. Myös kaksi binäärirelaatiot ja raportti kvaternaarinen primitiivinen:

  • Se sisältää: piste voi olla suorassa linjassa tai tasossa, ja suora viiva mahtuvat tasolle;
  • Erilliset: pari pistettä AB erottaa pari pistettä CD, symboleina: S;
  • Johdonmukaisuus, kuten symbolilla "≡" kulmat ja segmentit voivat olla yhtenevät.

Segmentin kahden pisteen A ja B on määritelty osan suoran viivan pisteiden A ja B

I - aksioomeja kuulumisesta

  • Pisteiden joukko koneen jaetaan paria pistettä, niin että jokainen kohta kone kuuluu yhteen ja vain yksi pari ja kiinnostavia jokaisen parin ovat erillisiä. Kahden pisteen, jotka kuuluvat eri paria, kulkee yksi ja vain yksi suora kun taas kahden pisteen saman parin kuluttaa enemmän suoria viivoja.
  • Jokaisella rivillä on vähintään kolme pistettä.
  • Ei kaikki pisteet kuuluvat samaan linjaa.

II - aksioomeja lajittelu

  • Jos S, niin A, B, C, D ovat neljä eri kohtia, jotka kuuluvat samaan linjaan.
  • Jos S, niin: S; S; S; S; S; S; S.
  • Jos A, B, C ovat kolme pistettä linjan, niin on olemassa vähintään yksi piste D siten, että S.
  • Jos A, B, C, D ovat neljä erillisiä kohtia, jotka kuuluvat samaan suora viiva, niin on olemassa kaksi pistettä erottaa pari muodostuu kahden muun; on se, että ainakin yksi seuraavista suhteista: S, S, S-
  • Jos S ja S, sitten S.
  • Suora, joka kulkee kärki, tehdä kolmio, täyttää vastakkaisella puolella.

III - aksioomat kongruenssi

  • Jos, B ovat kaksi pistettä linjan, ja myös "on piste samalle riville tai toisella", aina voi löytää piste B ", tietyllä osa linja" suhteessa ", niin että janan AB on yhtenevä, tai yhtä suuri, jotta segmentin A'B "; symbolein: AB ≡ A'B ".
  • Jos segmentti A'B "ja segmentin" B "ovat yhteneväisiä samaan segmenttiin AB, A'B '≡ AB ja" B "≡ AB, niin segmentti A'B" on yhdenmukainen segmenttiin " B ".
  • Ovat AB ja BC kaksi segmenttiä ilman yhteistä pistettä suorassa linjassa ja A'B "ja B'C" kaksi segmenttiä samalle riville tai toisella ", aina ilman yhtymäkohtia. Joten jos ≡ AB A'B "ja BC ≡ B'C ', se on myös AC ≡ A'c".
  • Heille annetaan kulma α tasossa α ja suora viiva "tasossa α", sekä tietty puolella "vuonna α". Merkitään h "ray linja", joka on peräisin O ". Silloin on tasossa yksi ja vain yksi säde k siten, että kulma α on yhdenmukainen, tai yhtä suuri kuin kulma α ja samalla kaikki sisäiset olevia kulman α, jotka ovat puolella ".
  • Jos kaksi kolmiota ABC ja A'B'C "sovelletaan yhteneväisyyttä ≡ AB: A'B ', AC-≡ A'c", αABC ≡ αA'B'C ", niin se on aina hyvä yhtäpitävyys: αABC ≡ αA'B "C".

IV - Axiom Riemannin

  • Mitkä tahansa kaksi riviä suunnitelma on aina ainakin yksi yhteinen piirre.

V - Axiom jatkuvuuden

  • Jos kiinnostaviin janan AB jaetaan kahteen luokkaan eivät ole tyhjiä, niin että:
    ) kaikki kohdat ovat yhdessä tai AB luokan;
    b) A ja B kuuluvat eri luokkiin;
    c) kaikki kohdat luokan ennen kuin toisen;
    niin on olemassa pisteen janan AB C, että kaikki kohdat janan AB edellisen C kuuluvat luokkaan, ja kaikki ne, jotka seuraavat C kuuluvat luokkaan II. C sanotaan pisteen toisistaan ​​kaksi luokkaa.

Malli pallomainen geometria

Kuten aikaisemmin on mainittu malli on pallomainen geometria on rakennettu pallon, kuten eritellään alla. Vuonna tasogeometrian peruskäsitteet ovat piste ja linja. Pallolla, kohdat määritellään tavanomaisessa merkityksessä. Linjat määritellään suuri piireissä. Siksi pallomainen geometria kulmien määritellään välillä suuria ympyröitä, ja tulos on Pallotrigonometria suunnitelmaan, joka poikkeaa euklidinen Tasotrigonometria. Sen sijaan Pallotrigonometria pallomaisina tilaa, jos otat tarvittavat sopimukset laajuudesta puolin ja kulmien pallomainen kolmiot, sama euklidinen pallotrigonometrian ja hyperbolinen. Eli Pallotrigonometria kuuluu kehon absoluuttista geometria.
Etäisyys kahden pisteen välillä alalla on minimaalinen segmentti, joka yhdistää ne, geodeettisia.

Tämän tulkinnan kaikki aksioomat ja ominaisuuksia pallomainen geometria näyttävät olevan lausetta Euklidinen geometria. itse asiassa, esimerkiksi kaksi vastakkaisia ​​pistettä siirtää ääretön suoria viivoja.

Lauseet

  • Ympärys
    Ympyrä on määritelty uraa ovat yhtä etäällä tietyssä kohdassa kutsutaan keskelle. On osoitettu, että ympärysmitta voi myös määritellä uran ovat yhtä etäällä tietyn suorassa linjassa.
  • Alueen kolmio
    Koska pallomainen kolmion rakennettu pallo, jonka säde R kulmat, alueen kolmion on:
    .
  • Kulmien summa kolmio
    Edellisen kertomuksen välittömästi seuraa, että summa kulmien kolmio on aina suurempi kuin:
    .
  • Kriteerit kongruenssi välillä kolmioiden
    Kaksi samanlaista pallomainen kolmiota, jotka ovat siististi yhtäläinen:
  • kaksi puolta ja kulma;
  • kaksi kulmat ja puoli yhteinen
  • kolme sivua;
  • kolme kulmaa.
  • Pythagoraan lause
    Jos ABC on pallomainen kolmion hypotenuusa peräsuolen vuonna ja, ja b ja c kanssa pituudet sen puolin, sitten kosini hypotenuusan on sama tuote kosinit cathets: Kun kehitys sarjaan toisen asteen trigonometriset funktiot, saat ilmaus yleisesti tunnettujen Pythagoraan lausetta Euclidean geometria:
  • Monikulmio alue pallomainen
    Alue pallomaisen monikulmio n puolelta on:
    .
    Hänen todiste perustuu kyky hajottaa monikulmio pallomainen kolmioita.
  • Eulerin kaava
    Koska pallomainen kupera polyhedron kanssa V solmua, reunat S ja F kasvot, joka on:
    V-S + F = 2.
  • Kaikki osaltaan suora viiva on kohtisuorassa kaksi pistettä, vastakkaisia ​​pistettä.
  • Kaksi vastakkaisia ​​pistettä jakaa linja kahteen congruent.
  • Kaksi vastakkaisia ​​pistettä jakaa kahteen congruent kaikki linjat kulkevat niiden kautta.
  • Kaikki linjat ovat yhtenevät.
  • Annetaan neljä erillistä A, B, C, D, samalla suoralla linjalla, joka on enintään yksi seuraavista suhteista: S, S, S
  • On suorakulmaisen kolmion kulma vastapäätä toinen puolin oikea kulma on akuutti, tylppä tai suorassa kulmassa toisen, että tämä puoli on lyhyempi kuin, tai suurempi kuin yhtenevä toiselle puolelle suorassa kulmassa.

Pyöreät lajike

Lisäksi kaksiulotteinen pallo, muut alueet on pallomainen geometria: Nämä tilat kutsutaan pallomainen erilaisia. Pallomainen geometria annetaan muodollisesti rakenne Riemannin moninaiset poikkipinta kaarevuus kaikkialla yhtä 1.

Mallit perustuvat eri pallomainen pallot mielivaltaisen koko. Kaikki muut lajikkeet pallomaisia ​​on paikallinen rakenne pallo, mutta voi olla erilainen maailmanlaajuinen topologia: joukossa ovat projektiivisen tilat, saatu tunnistamalla vastakkaisia ​​olevia pallo, joka on säädettävissä kooltaan jopa. Kooltaan on linssi tilat.

  0   0
Edellinen artikkeli Giuseppe Guttadauro
Seuraava artikkeli Mines Gares

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha