Hamiltonin periaate

Fysiikassa variaatioperiaatetta Hamilton fyysisten järjestelmien muotoilu William Rowan Hamiltonin periaate vähiten toiminta, jossa todetaan, että liike fyysisen järjestelmän kahdessa hetkiä kokoonpano tila määräytyy variational ongelmaa toiminnallinen toiminta, joka on minimoitu vastaten todellinen kehityskaari liikkeen.

Se on olennainen suhde, joka koskee maailmanlaajuisen liikkeen järjestelmän kahden ajanhetkillä faasin tilaan, josta voit saada liikeyhtälöt järjestelmän ero muodossa: periaate vähiten toiminta on itse asiassa vastaa toinen laki liikkeen, joka Lagrangen mekaniikka on muotoiltu avulla Euler-Lagrange. Vaihe tila muodostetaan 2n hyperavaruus suorakulmaiset akseleita ovat yleisen koordinaatit.

Lisää määrin yleistettävissä, periaate on erittäin tärkeä rooli tämän modernin fysiikan: se on todellakin yksi suurista yleistyksiä fysiikka, ja sen merkitys voidaan nähdä täysin eri aloilla, mukaan lukien kvanttimekaniikka. Feynmanin muotoilu kvanttimekaniikka perustuu periaatteeseen paikallaan toiminnan muotoiltu käyttäen integraaleja poluilla, mutta myös Maxwellin yhtälöt voidaan johtaa ehtoina paikallaan toiminnan. Yleensä on monia ongelmia, jotka voidaan esittää ja ratkaista kannalta toiminnan periaate: se on esimerkiksi mahdollista löytää nopeimman reitin kahden pisteen välillä, osoittaa, että vesi tulee alas mäkeä aina seuraa maksimi kaltevuus, ja se, että valon kulkureitti kahden pisteen välillä on aina se, joka ajetaan lyhyessä ajassa, tai sallii tutkimus polku elimen painovoimakentässä. Jopa symmetries ongelmia fysiikan voidaan käyttää mahdollisimman hyvin hyödyksi käyttäen toiminnan periaatteena: esimerkiksi Noether lause todetaan, että jokaista jatkuvaa symmetrian fyysinen ongelma vastaa säilymislaki. Tämä syvä matematiikka, edellyttää kuitenkin periaatetta kanteen edellytyksenä.

Historia

Periaatteessa vähiten toimintaa on muotoiltu ensimmäisen kerran alkaen Leibniz Maupertuis vuonna 1746, vastustaa periaatteita dynamiikkaa Newton. Hän alkoi havainto, että luonne maailmankaikkeuden edellyttää jonkinasteista talouden ja vastustaa kaikkea tarpeetonta hukkaamisen elävä voima, modernissa kannalta, liike-energia, fyysinen merkitys, joka oli itse asiassa keskeinen nykyiseen Leibniz.

Euler, hänen Mietteitä joitakin yleisiä luonnonlakeja ... vuonna 1748, hyväksyi periaatteen vähiten vaivaa, joka vastaa modernin energian potentiaali, jotta määritelmä vähiten toiminnan staattisessa järjestelmässä vastasi periaate, että järjestelmä elinten levossa omaksuu tilan, joka minimoi koko potentiaalienergia.

Hamilton yhtenäinen valossa keskustelun analyyttinen mekaniikka Lagrangen kaksi määritelmää yleisemmin ottaen osuudet huomioon molempien, ja jotka käytännössä johtavat samoihin johtopäätöksiin Newtonin mekaniikka.

Formulaatio

Tarkastellaan fyysinen kuvanneet N yleistynyt koordinaatit kehittyy kahden valtion ja aikaväli hetkiä ja. Variaatioperiaatetta Hamilton sanoo, että evoluutio järjestelmän, kuvattu käyrä, on paikallaan pisteen toiminnallisen kanteen pienet häiriöt liikeradan.

Selvemmin, kiinteä, joka määrittelee toiminnan välillä ja on seuraava:

jossa tarkoittaa Lagrangen järjestelmän. Variaatioperiaatetta Hamilton toteaa, että fyysinen järjestelmä suorittaa lentoradan mahdollisimman pieni arvo kiinteä, jossa määritellään toiminta, sillä piirteitä riittävän lyhyt. Toisin sanoen, kehitys fyysisen järjestelmän on ratkaisu variaatioformalismiin:

Lagrangen mekaanisen järjestelmän riippuu vain ajan, jonka asema ja johdannainen jälkimmäisen ajan suhteen, nopeuden. Tämä johtuu siitä, että nämä määrät mahdollistavat yksikäsitteisesti määrittää mekaanisen kunnon kuvatun järjestelmän.

Euler-Lagrangen yhtälö

Jos fyysinen järjestelmä on holonomic ja monogeeninen on mahdollista johtaa Lagrangen yhtälöt periaatteesta Hamilton: pyyntö, että tehokas tie matkusti fyysinen järjestelmä on paikallaan pisteen toiminta vastaa järjestelmän differentiaaliyhtälöt jonka Se on tuntematon. Koska kehitys järjestelmän kahden valtion ja aikaväli hetkiä, ja yhtälöt saadaan käyttöön pieni häiriö, jossa häviää päissä polkua:

Hämminki tuottaa muutoksen toiminnallinen toimia kokonaisuudessaan:

Käyttämällä integroitumista osat oikea termi saadaan:

Reunaehdot peruuttaa ensimmäinen termi, jota varten:

Hamiltonin periaate edellyttää, että se mitätöidään mahdollisista häiriön että kehityskaari on paikallaan pisteen toiminta. Tällainen pyyntö on siis täyttyy, jos ja vain jos Euler-Lagrange:

Se on järjestelmä N differentiaaliyhtälöt toisen asteen, jonka ratkaisu sisältää 2 N mielivaltaisia ​​vakioita määritettävä.

Canonical vauhtia ja liikevakiot

Vauhtia konjugaatti suhteessa yleisen koordinaatti määritellään yhtälöllä:

Jos lauseke ei sisällä koordinoida yleinen tapahtuu:

Tällaisessa tapauksessa, Euler-Lagrangen yhtälöt osoittavat, että aika vaihtelu ei ole mitään, ja sen vuoksi se on vakio liikkeen. Lisäksi sanotaan koordinoitua syklinen.

Hamiltonin periaate laajeni

Hamiltonin periaate voidaan laajentaa myös muihin kuin konservatiivinen järjestelmien ja nonholonomic rajoitteet, jos ne ovat lineaarisia ja integroitu tarkasti. Jokainen liike, joka tapahtuu saman aikavälin ja välillä saman äärimmäinen kokoonpanoissa, nimittäin, on omaisuutta olettaen äärimmäisen arvon kiinteä:

jossa on Hamiltonin funktio. Periaate voidaan ilmaista eri tavalla sanomalla, että jokainen liike, joka tapahtuu saman aikavälin ja välillä samalla äärimmäisen kokoonpanoissa on ominaisuus peruuttaa vaihtelu kiinteä laajentuneen Hamilton:

Toiminta poikkeaa toiminta on nyt otettu käyttöön edellisessä tapauksessa, koska se ei ole välttämätöntä, että ne ovat konjugaatti liikemäärät muuttujat: yleensä. Jos tämä ehto täyttyy, toiminta laajeni samaistuu toiminnan Hamilton.

Hamilton yhtälöt

Tästä periaatteesta on mahdollista päätellä yhtälöt Hamilton. Harkitse kaikki käyrät, joilla on omaisuutta matkan tekoon samalla, tunnettu vaihtelu parametrin virtuaalinen. Sitten vaihtelu kiinteä tulee:

Tuloksena osa kuin kiinteä saat:

Integrointi osilla määrä:

Lopuksi, saat muoto:

ja tämä on nolla jos ja vain jos vastaavat määrät muutokseen Lagrangen koordinaatit ja muutos konjugaatin liikemäärä ovat vastaavasti mitätöidään ja tämä tapahtuu vain, jos ilmaisuja suluissa peruutetaan, joka on:

jotka ovat yhtälöt Hamilton.

Esimerkki

Ajatellaan esimerkiksi vapaan hiukkasen massa joka liikkuu pitkin suoraa linjaa. Puuttuessa mahdollisen Lagrangen on yhtä suuri kineettinen energia, joka on kohtisuorassa koordinaatit on muotoa:

jossa piste tarkoittaa erilaistumista suhteen muuttuja, joka parameterizes käyrä matkan, joka on yleensä aika. Hakeminen Euler-Lagrange:

saat sen nyt:

ja vastaavasti. Täten nähdään, että formulaatio Euler-Lagrangen yhtälöitä voidaan käyttää johtamaan Newtonin.

Napakoordinaatteina, kineettinen energia sen sijaan on muotoa:

ja Euler-Lagrangen yhtälöt tulla:

jonka ratkaisu on:

joukolle vakioita, ,, määräytyy alkuehdot.

  0   0
Edellinen artikkeli Kalsiumkarbonaattia
Seuraava artikkeli Franco Pedrazzini

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha