Frobenius menetelmä

Matematiikassa, menetelmä Frobenius, jonka nimi juontuu saksalainen matemaatikko Georg Ferdinand Frobenius, kuvaa tapa löytää ratkaisun loputon varten tavallinen differentiaaliyhtälö toisen asteen muotoa:

lähellä yksikössä pisteen säätää. Yksi voi jakaa differentiaaliyhtälö ja saada vastaavassa muodossa:

Jälkimmäinen ei voida ratkaista laajentamalla vallassa sarjassa, tai etsivät ratkaisuja, kuten:

onko analyyttistä. Menetelmä Frobenius avulla luoda ratkaisuja potenssisarjan tämäntyyppiseen differentiaaliyhtälöiden tapauksessa, jossa ja ovat itse analyyttinen naapurustossa alkuperän tai on analyyttinen joka toisessa kohdassa, siinäkin tapauksessa, jossa rajansa nolla olemassa ja rajallinen.

Formulaatio

Menetelmä Frobenius todetaan, että voit etsiä ratkaisua muodossa:

Erottaa sinulla on:

ja sitten korvaa:

Lauseke:

Se tunnetaan indicial polynomi tai tunnusomainen polynomi, joka on toisen, ja määritellään kerroin pienimmän tehon ääretön sarjan. Tässä tapauksessa se on-nnen kertoimen, mutta se voi tapahtua, että pienempi eksponentti on, tai jotain muuta päivästä riippuvainen ero yhtälö. Tämä yksityiskohta on merkittävä, koska synkronointi indeksejä kaikki sarjan differentiaaliyhtälö, tarpeen kaikkien näiden alkavat samalla indeksin arvo, voit päästä loppuun kanssa monimutkainen ilme. Kuitenkin etsiä ratkaisuja indicial painopiste on vain suhde tehoon asti on vähemmän.

Kuten sanottu, yleistä ilmaisua kerroin on:

Nämä kertoimet, on ratkaisu differentiaaliyhtälön, on oltava nolla:

josta olemme:

ja sitten:

Ratkaisu muodossa sarjan:

Ottelut:

Jos valitset jonkin juuret indicial vuonna saada ratkaisu differentiaaliyhtälön. Jos ero juuret ei ole kokonaisluku, muiden juuri olet myönnetty toinen ratkaisu lineaarisesti riippumattomia ensin.

Esimerkki

Tarkastellaan yhtälöä:

Olet saadaan jakamalla:

joka on yksittäisperiaatteen pyynnössä. Käyttämällä ratkaisut sarjaan:

ja korvaamalla se on:

Sen on nyt muuttaa indeksi viime summattu:

ja kun osa pois summattu kanssa, että osa on saatu, että kaikki summat partano samalla indeksi:

Ratkaiseminen ominaisuus yhtälö, joka on kaksinkertainen juuri arvo on 1, saadaan ensimmäinen ratkaisu differentiaaliyhtälön. Käyttämällä tätä root, asettamalla kerroin niin, että se on nolla:

Se johtaa differenssiyhtälö:

Koska alkuehdot, voimme täysin ratkaise differenssiyhtälö ja saada ratkaisu sarjakehitelmän. Koska suhde kertoimien on järkevä toiminta, potenssisarjan voidaan ilmaista erikoistapaus yleisen Hypergeometrinen sarjassa.

Z-juuret erotettu

Edellisessä esimerkissä liittyy ominaisuus polynomi juuri toistuvia, joka sitten tarjoaa vain yksi ratkaisu annetaan ero yhtälö. Yleensä menetelmässä Frobenius on kaksi lineaarisesti riippumaton ratkaisuja, jos juuret ovat erillisiä, ja niiden ero ei ole kokonaisluku. Jos juuret toistetaan tai eroavat kokonaisluku sitten toinen ratkaisu voidaan löytää yhtälöllä:

Jossa on ensimmäinen ratkaisu ja kertoimet on määritettävä.

  0   0
Edellinen artikkeli Railroad Chase-Kirchner
Seuraava artikkeli Tebaide

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha