Euler toiminto φ

Matematiikkaa, funktio φ Euler tai yksinkertaisesti Eulerin funktio tai toziente, on funktio on määritelty, mitä tahansa positiivinen kokonaisluku, kuten määrä kokonaislukuja välillä ja jotka ovat keskenään jaottomia. Esimerkiksi, koska numerot ovat neljä suhteellisen prime 8: 1, 3, 5, 7. nimensä velkaa Sveitsin matemaatikko Euler, joka ensimmäisenä kuvaili.

Toiminto on hyvin tärkeä tehtävä lukuteoria, lähinnä koska se on mahtavuutta kerrannaisvaikutuksia ryhmän kokonaislukuja muodossa, tarkemmin, se on järjestyksessä kerrannaisvaikutuksia ryhmän rengas. Tämä seikka, sekä Lagrangen lause osoittaa Eulerin lause: jos se on numero keskenään jaottomia, sitten

Multiplicativity

Funktio φ Euler on multiplicative sillä jokainen pari kokonaislukuja ja b siten, että syt = 1 olemme

Tämä seikka voidaan osoittaa monin tavoin: esimerkiksi, voidaan havaita, että numero on keskenään jaottomia ab jos ja vain jos se on keskenään jaottomia kanssa sekä että b. Kun otetaan huomioon, x keskenään jaottomia ab, tällä ei ole tekijöitä yhteistä ab, ja siksi siinä ole tekijöitä yhteistä ole kanssa eikä myöskään B; päinvastoin, jos x on keskenään jaottomia, jossa a ja b kanssa, ja oli ensimmäinen s jakamalla sekä ab, että x, s pitäisi jakaa, että lemman Eukleides, vähintään yhden a: sta ja b, ja niin x ei voi keskenään jaottomia molemmilla.

Kun osoitti tämän, on huomattava, että kunkin parin kanssa ja vastaa yksi ja vain yksi elementti. Joten elementtien lukumäärän keskenään jaottomia ab on sama kuin parit jossa y on keskenään jaottomia kanssa ja z-b.

Määritelmän, ovat ensimmäinen ja toinen, ja sitten lopulta on olemassa tekijöitä, suojaa minua ab joka on määritelmän arvo

Laskeminen toiminto

Funktion lauseke on seuraava:

jossa ovat kaikki ensin, jotka muodostavat tekijöihinjako n.

Esittely

Osoitamme ensin, että jos p on alkuluku, jokaiselle.

Tehdä niin, löydämme kaikki numerot vähemmän kuin tai yhtä suuri kuin m, jotka. Tämä tarkoittaa sitä, että m pitää olla tekijöitä yhteistä. Mutta p on alkuluku, niin jos m on tekijöitä yhteistä p, niiden on oltava kerrannaisina voiman s. Sitten kaikki mahdolliset arvot m ovat. Nämä luvut ovat, ja ne ovat kaikki luvut, jotka eivät ole prime. Kaikki luvut ovat alle tai yhtä suuri, niin alkulukuja, joissa on vähemmän kuin ovat jäljellä.

Sitten

Käyttämällä perusoikeuksien lause aritmeettinen voimme factorize tahansa numeron tuote alkulukuja korotettuna tietty teho:

missä ovat erillisiä alkulukuja, ja jokainen

Sitten

Nyt, koska se on kerrannaisvaikutuksia voimme laajentaa toiminto:

Kaava voidaan kirjoittaa tiiviimmässä muodossa:

Asymptoottinen käyttäytyminen

Kirjoittaminen on ensimmäisen kerran todettu mahdollistaa myös sen osoittamiseksi, että funktion arvot φ voi olla mielivaltaisesti pieni suhteessa n: jatkamisesta seikka tuotteen kaikissa Ensin saadaan

Että sulkeissa kirjoittaa Euler tuote Riemannin zeta-toiminto s = 1, eli summa

tai harmoninen sarja, joka poikkeaa. Sitten sen käänteinen on 0, ja sekvenssi

tulee mielivaltaisesti lähellä 0.

Muut ominaisuudet

  • Numero φ on myös yhtä suuri generaattorit syklisen ryhmän Cn. Koska jokainen osa Cn voit luoda syklinen alaryhmä Cd missä d jakaa n, saada:

jossa summa ulotetaan kaikkiin divisors d n.

Voit nyt käyttää toimintoa Möbius inversion kääntämään tätä summaa ja saada toinen kaava φ:

jossa on tavallista Möbius funktio määritelty positiivisia kokonaislukuja.

  • Olemme myös, että jos n on alkuluku:

Koska on selvää, minkä tahansa määrän pienempi kuin n on keskenään jaottomia, jossa n on ensin.

  • On sekvenssi arvoja n, että

Ensimmäiset ovat 1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, ....

  • On vain yksi numero, joka

ja se on 5186, jota varten se on itse asiassa

  • Onko aritmeettinen etenemisen syy 30 koostuu kuusi numeroa, jotka tuottavat kaikki saman arvon φ:
  •  merkitsee
  •  Se on yhtä kuin. Lisäksi jos n on r eri alkutekijöitä outoa, sitten

Generoiva funktio

Kaksi tuottava toiminnot esitetään tässä ovat seurauksia siitä, että

Dirichlet'n sarja, joka luo on φ

jossa on Riemannin Zeta funktio. Tämä johtuu seuraavista:

Generoiva funktio sarja Lambert on

joka suppenee | Q | & Lt; 1. Tämä johtuu

joka on

Eriarvoisuus

Jotkut eriarvoisuutta liittyvät toiminto ovat:

ja

Jos n koostuu me

Kunkin parillinen 2n, jossa 2n ei ole muotoa 2, meillä on

Jos 2n on yhtä suuri ja muoto 2, me

Kun n mielivaltaisen suuri, se

Pari eriarvoisuuden yhdistyvät toiminto toiminto ovat:

Jotkin arvot funktion

  0   0
Edellinen artikkeli Tenrecidae
Seuraava artikkeli Yhteistyö

Aiheeseen Liittyvät Artikkelit

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha